密度演算子の性質と量子状態トモグラフィー(Quantum state tomography)についてまとめました。
目次
密度演算子
密度演算子とは
量子状態はヒルベルト空間上の単位ベクトルとして表せる状態を純粋状態、表せない状態を混合状態と呼ぶ。純粋状態は原理的に可能な限りの情報を得られている状態であり、混合状態は知識不足からくる。混合状態は外界とエンタングルしていると考えることもできる。密度演算子\(\rho\)は純粋状態と混合状態を統一的に表現できる。
密度演算子による混合状態の表現を2パターン説明する。
確率混合によって広がった状態の記述 例えば確率1/2で\(|{0}\rangle\), 確率1/2で\(|{1}\rangle\)を用意するという場合である。状態の確率混合を\(\{p_i, |{\psi_i} \rangle \}\)としたとき密度演算子は \[\rho=\sum_i p_i|{\psi_i}\rangle \langle{\psi_i}|\] と記述できる。
純粋状態の部分系の記述 部分系\(S\)と環境系\(E\)からなる閉じた系(純粋状態)で\(S\)の密度演算子は \[\rho=\operatorname{Tr}_E{\rho_{SE}} \] と記述できる。つまり全体系が純粋状態であっても部分系\(S\)は環境系\(E\)と相互作用しているため、部分系は一般に混合状態になる。
密度演算子の性質
密度演算子の性質を以下に列挙する。(証明は省略する)
物理量\(A=\sum_aaP_a (P_a=|{v_a}\rangle \langle{v_a}|)\)の測定を考えた時\(Pr[A=a|\rho]=\operatorname{Tr}(\rho P_a)=\langle{v_a}|\rho|{v_a}\rangle\)
半正定値性：\(\rho \geq 0\)
\(\operatorname{Tr}\rho=1\) (確率の和が1であることに由来)
\(\mathbb{E}_\rho[A]=\operatorname{Tr}(\rho A)\)
密度演算子の集合\(\mathcal{S(H)}=\{\rho \in \mathcal{L(H)_h | \rho \geq 0, \operatorname{Tr}\rho = 1}\}\) (\(\mathcal{L(H)_h}\)は\(\mathcal{H}\)上のすべてのエルミート演算子の集合)
\(\rho\)は純粋状態\(\Leftrightarrow \rho=\rho ^2 \Leftrightarrow \operatorname{Tr}\rho^2=1 \Leftrightarrow \rho\)は固有値1と0(縮退している)を持つ
ダイナミクスはvon Neumann方程式\(i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \rho=[H, \rho]\)で与えられる
時間発展は\(\rho \rightarrow \rho'=U\rho U^{†}\)
純粋状態\(\Leftrightarrow \operatorname{rank}\rho=1\), 混合状態\(\Leftrightarrow \operatorname{rank}\rho>1\)(略証：\(\operatorname{rank}\rho=\operatorname{dim}(\operatorname{img}(A))=\)非ゼロの特異値の数)
Quantum state tomography (量子状態トモグラフィー)
概要
tomographyとは、はっきりとした日本語訳は存在しないが量子情報の文脈では「何かを特定すること」という意味で使われることが多い。量子状態トモグラフィーとは、ある未知の量子状態から得られる複数の測定値を用いて、その量子状態に対する密度演算子\(\rho\)を推定する手法である。複数の射影演算子によって得られた測定値から統計的手法を用いて\(\rho\)を再構成する。
手法
量子状態トモグラフィーには様々な手法が存在するが、ここでは最尤推定を用いる手法を説明する。以下に手順を示す。
- 測定に用いる演算子を6つ用意する(例えばPOVMなど)。ブロッホ球で考えたとき、3つの軸に射影する演算子と考えると分かりやすい。それぞれ\(N_H, N_D, N_R\)とする。
- 用意した密度演算子からそれぞれの演算子に対して測定値\(N_i\)を得る(複数回の測定より期待値を得る)。
- tunable stateとして \[\rho_{test}=\frac{T^{†}T}{\operatorname{Tr}(T^† T)}, T=\begin{bmatrix}t_1 & 0 \\ t_3+it_4 & t_2 \end{bmatrix}\] を用意し、そこから期待値\(\bar{N_i}\)を得る。
- 最尤推定により\(t_1, ..., t_4\)を得る。以下に最尤推定の方法を述べる。 正規分布より以下の確率分布が得られる。 \[p(N_x;\rho_{test})=e^{-\frac{(N_x-\bar{N_x})^2}{2 \bar{N_x}}}\] よって\(\rho_{test}\)より得られた測定値は以下を最大化する。 \[f(N_H, ..., N_R; \rho_{test})=e^{-\frac{(N_H-\bar{N_H})^2}{2 \bar{N_H}}}...e^{-\frac{(N_R-\bar{N_R})^2}{2 \bar{N_R}}}\] 実際の計算では以下の関数を最大化させれば良い。 \[l(N_H, ..., N_R;\rho_{test})=-\sum_i\frac{(N_i-\bar{N_i})^2}{2 \bar{N_i}}\]
参考文献
- 石坂智, 小川朋宏, 河内亮周, 木村元, 林正人, 量子情報科学入門, 共立出版
- http://research.physics.illinois.edu/QI/Photonics/tomography/